Перейти в начало сайта Перейти в начало сайта
Электронная библиотека «Наука и техника»
n-t.ru: Наука и техника
Начало сайта / Препринт / Наука сегодня
Начало сайта / Препринт / Наука сегодня

Научные статьи

Физика звёзд

Физика микромира

Журналы

Природа

Наука и жизнь

Природа и люди

Техника – молодёжи

Нобелевские лауреаты

Премия по физике

Премия по химии

Премия по литературе

Премия по медицине

Премия по экономике

Премия мира

Книги

Бермудский треугольник: мифы и реальность

Законы Паркинсона

Культура. Техника. Образование

Парадокс XX века

Среди запахов и звуков

Химия вокруг нас

Издания НиТ

Батарейки и аккумуляторы

Охранные системы

Источники энергии

Свет и тепло

Научно-популярные статьи

Наука сегодня

Научные гипотезы

Теория относительности

История науки

Научные развлечения

Техника сегодня

История техники

Измерения в технике

Источники энергии

Наука и религия

Мир, в котором мы живём

Лит. творчество ученых

Человек и общество

Образование

Разное

Уравнение Пелля и уравнение y2 + 1 = 2x4

Валерий МЕШКОВ

 

Полная версия статьи: DOC (309 кб).

 

В теории чисел наибольшие трудности представляет решение некоторых видов диофантовых уравнений. Одним из таких является уравнение Люнгрена, который в 1942 г. сам же нашел его решение. Однако оно было настолько сложным, что наиболее известный и авторитетный специалист в этой области покойный профессор Морделл утверждал: «Трудно вообразить более сложное решение, и можно только желать его упрощения».

Последующие упрощения решения различными авторами все же использовали изощренные математические методы и сложные вычисления. При этом не учитывалось, что данное уравнение является частным случаем уравнения, которое связано с уравнением Пелля. В свою очередь, уравнение Пелля является одним из наиболее изученных диофантовых уравнений. Весьма подробное изложение истории исследования этого уравнения имеется во многих руководствах по теории чисел.

Решения этого уравнения для рассматриваемого случая могут быть представлены с помощью алгебраических чисел в виде простых рекуррентных соотношений. На их основе далее были получены нелинейные рекуррентные соотношения. Уравнение Люнгрена накладывает дополнительные ограничения на эти решения, что позволяет найти его решение элементарными методами.

Далее доказывается теорема о найденных решениях. При доказательстве используется давно известная оценка Лиувилля, эффективность применения которой, как правило, невелика. В рассматриваемом подходе она применяется к монотонным последовательностям иррациональных чисел, среди которых могут быть рациональные числа. Именно свойство монотонности приводит к эффективности оценки Лиувилля, что дает возможность получить искомое решение практически элементарными средствами.

В приложении показано, как обобщается данный подход применительно к более общим диофантовым уравнениям.

 

Источники информации:

  1. Эдвардс Г. Последняя Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М.: Мир, 1980.
  2. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
  3. Steyner R., Tzanakis N. Simplifying the Solution of Ljungren's Equation. J. Number Theory 37 (1991), 123...132.
  4. Chen Jian Hva. Новое решение диофантова уравнения. J. Number Theory 48 (1994), 62...74.

 

Дата публикации:

3 мая 2006 года

Электронная версия:

© НиТ. Препринт, 1997

В начало сайта | Книги | Статьи | Журналы | Нобелевские лауреаты | Издания НиТ | Подписка
Карта сайта | Cовместные проекты | Журнал «Сумбур» | Игумен Валериан | Техническая библиотека
© МОО «Наука и техника», 1997...2017
Об организацииАудиторияСвязаться с намиРазместить рекламуПравовая информация
Яндекс цитирования
Яндекс.Метрика