Перейти в начало сайта Перейти в начало сайта
Электронная библиотека «Наука и техника»
n-t.ru: Наука и техника
Начало сайта / Препринт / Наука сегодня
Начало сайта / Препринт / Наука сегодня

Научные статьи

Физика звёзд

Физика микромира

Журналы

Природа

Наука и жизнь

Природа и люди

Техника – молодёжи

Нобелевские лауреаты

Премия по физике

Премия по химии

Премия по литературе

Премия по медицине

Премия по экономике

Премия мира

Книги

Безумные идеи

Как люди научились летать

Крушение парадоксов

Популярная библиотека химических элементов

Смотри в корень!

Ученые – популяризаторы науки

Издания НиТ

Батарейки и аккумуляторы

Охранные системы

Источники энергии

Свет и тепло

Научно-популярные статьи

Наука сегодня

Научные гипотезы

Теория относительности

История науки

Научные развлечения

Техника сегодня

История техники

Измерения в технике

Источники энергии

Наука и религия

Мир, в котором мы живём

Лит. творчество ученых

Человек и общество

Образование

Разное

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Валентин Подвысоцкий

Уравнение:

X4 + TX2 + PX + Q = 0

(1)

имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.

Известно, что:

X1 + X2 + X3 + X4 = 0,

(2)

X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T,

(3)

X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = –P,

(4)

X1X2X3X4 = Q.

(5)

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X1X2 + X3X4 = T + (X1 + X2)2,

(6)

(X1 + X2)(X1X2X3X4) = P.

(7)

Составляем квадратное уравнение:

Y2 – (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0,

(8)

где Y1 = X1X2, Y2 = X3X4.

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2 перепишем уравнение (8) в виде:

Y2 – (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2),

(9)

X3X4 = 1/2(T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2).

(10)

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X1X2X3X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.

(11)

Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:

X1X2X3X4 = Р/А1/2.

(12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.

(13)

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)AP2 = 0.

(14)

Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A = (X1 + X2)2 и двух квадратных уравнений:

X2 – (X1 + X2)X + X1X2 = 0,

(15)

X2 – (X3 + X4)X + X3X4 = 0.

(16)

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X2 A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0,

(17)

X2 + A1/2X + 1/2(T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0.

(18)

Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.

 

Дата публикации:

16 февраля 2002 года

Электронная версия:

© НиТ. Препринт, 1997

В начало сайта | Книги | Статьи | Журналы | Нобелевские лауреаты | Издания НиТ | Подписка
Карта сайта | Cовместные проекты | Журнал «Сумбур» | Игумен Валериан | Техническая библиотека
© МОО «Наука и техника», 1997...2017
Об организацииАудиторияСвязаться с намиРазместить рекламуПравовая информация
Яндекс цитирования
Яндекс.Метрика