Перейти в начало сайта Перейти в начало сайта
Электронная библиотека «Наука и техника»
n-t.ru: Наука и техника
Начало сайта / Препринт / Наука сегодня
Начало сайта / Препринт / Наука сегодня

Научные статьи

Физика звёзд

Физика микромира

Журналы

Природа

Наука и жизнь

Природа и люди

Техника – молодёжи

Нобелевские лауреаты

Премия по физике

Премия по химии

Премия по литературе

Премия по медицине

Премия по экономике

Премия мира

Книги

Вода знакомая и загадочная

Загадки простой воды

Крушение парадоксов

Парадокс XX века

Луи де Бройль. Революция в физике

Цепная реакция идей

Издания НиТ

Батарейки и аккумуляторы

Охранные системы

Источники энергии

Свет и тепло

Научно-популярные статьи

Наука сегодня

Научные гипотезы

Теория относительности

История науки

Научные развлечения

Техника сегодня

История техники

Измерения в технике

Источники энергии

Наука и религия

Мир, в котором мы живём

Лит. творчество ученых

Человек и общество

Образование

Разное

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Валентин Подвысоцкий

Уравнение:

X4 + TX2 + PX + Q = 0

(1)

имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.

Известно, что:

X1 + X2 + X3 + X4 = 0,

(2)

X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T,

(3)

X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = –P,

(4)

X1X2X3X4 = Q.

(5)

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X1X2 + X3X4 = T + (X1 + X2)2,

(6)

(X1 + X2)(X1X2X3X4) = P.

(7)

Составляем квадратное уравнение:

Y2 – (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0,

(8)

где Y1 = X1X2, Y2 = X3X4.

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2 перепишем уравнение (8) в виде:

Y2 – (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2),

(9)

X3X4 = 1/2(T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2).

(10)

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X1X2X3X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.

(11)

Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:

X1X2X3X4 = Р/А1/2.

(12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.

(13)

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)AP2 = 0.

(14)

Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A = (X1 + X2)2 и двух квадратных уравнений:

X2 – (X1 + X2)X + X1X2 = 0,

(15)

X2 – (X3 + X4)X + X3X4 = 0.

(16)

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X2 A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0,

(17)

X2 + A1/2X + 1/2(T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0.

(18)

Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.

 

Дата публикации:

16 февраля 2002 года

Электронная версия:

© НиТ. Препринт, 1997

В начало сайта | Книги | Статьи | Журналы | Нобелевские лауреаты | Издания НиТ | Подписка
Карта сайта | Cовместные проекты | Журнал «Сумбур» | Игумен Валериан | Техническая библиотека
© МОО «Наука и техника», 1997...2017
Об организацииАудиторияСвязаться с намиРазместить рекламуПравовая информация
Яндекс цитирования
Яндекс.Метрика