Технология устойчивого оценивания регрессионных моделей

Радченко С.Г.
НТУУ «Киевский политехнический институт», г. Киев

В [1] изложены пути повышения эффективности экспериментальных исследований сложных систем и процессов, которые целесообразно использовать в космических экспериментах.

Разработана концепция устойчивого планирования многофакторного эксперимента, позволяющая выбрать неизвестные исследователю структуры «истинных» статистических моделей полиномиального вида, линейных по параметрам, и получить адекватные модели. Разработаны и реализованы в алгоритмах RASTA1, RASTA2 методы получения квазиортогональньх и квази-D-оптимальных планов экспериментов, многофакторных регулярных последовательных планов экспериментов для числа факторов k = 2...11 и числа опытов N = 5...64 [2]. Эти алгоритмы по числу учитываемых факторов и требуемому числу опытов соответствуют условиям и возможностям проведения космических экспериментов на лабораторных модулях МКС.

Многофакторные статистические регрессионные модели, линейные относительно параметров и нелинейные, в общем случае, относительно факторов, получили значительное распространение в научных и прикладных исследованиях. Использование регрессионных моделей при исследовании сложных систем позволяет получить необходимую информацию для создания наукоемких изделий, высоких технологий, интеллектуальных средств измерений, новых материалов. При повышении сложности систем, процессов и объектов регрессионные модели являются универсальным средством получения качественной и количественной информации о связи факторов и критериев качества.

Получение регрессионных моделей в прикладных исследованиях связано с решением некорректно поставленных задач. Поиск регрессионной модели будет корректным, если решение задачи существует, оно единственное и устойчивое. Для корректного решения регрессионной задачи необходимо выполнение предпосылок регрессионного анализа, полнота исходной информации о свойствах моделируемой системы. Многочисленная практика решения прикладных задач показала, что предпосылки регрессионного анализа часто не выполняются, а необходимая информация для принятия решения в большинстве случаев отсутствует. Необходима разработка таких методов получения регрессионных моделей, которые были бы устойчивы, т. е. мало бы изменяли полученные решения по отношению к выполнению условий и доступной исследователю информации.

Разработана система получения устойчивых регрессионных многофакторных моделей, включающая три подсистемы: 1) устойчивое планирование многофакторных экспериментов; 2) выбор устойчивой структуры статистической модели, не известной исследователю; 3) устойчивое оценивание коэффициентов статистической модели [2].

Важнейшим и типичным в прикладных задачах является нарушение предпосылки о физической и статистической независимости управляемых факторов X₁, ..., X_k:

r_ij(X_i, X_j) = 0; 1 ≤ i < j ≤ k,

где r_ij(X_i, X_j) – коэффициент парной корреляции факторов X_i, X_j [2, с. 61].

Взаимная коррелированность факторов (мультиколлинеарность) приводит к существенному изменению значений определяемых коэффициентов регрессии: коэффициенты становятся смещенными, их среднеквадратичные ошибки могут существенно возрасти; обоснованное применение статистических критериев t (Стьюдента) и F (Фишера) невозможно.

В указанных условиях необходимо применять методы устойчивого оценивания статистических моделей, подробное изложение которых приведено в [2, с. 209...300]. Разработаны алгоритмы RASTA4, RASTA4 К топологического отображения прообраза факторного пространства в образ. Алгоритмы RASTA5.1, RASTA10, RASTA14 позволяют создать собственную кодированную систему координат в прообразе и образе и устойчиво (число обусловленности cond(X^ТX) = 1...10) оценить коэффициенты при сколь угодно большой исходной мультиколлинеарности факторов.

Важной задачей является получение уравнения регрессии в условиях отсутствия информации о его структуре. Разработано устойчивое оценивание структуры, исходя из свойств устойчивого плана эксперимента и структуры модели, соответствующей полному факторному эксперименту. Выделение необходимой и достаточной структуры производится с использованием алгоритма RASTA3 и программного средства «Планирование, регрессия и анализ моделей» (ПС ПРИАМ) [2, с. 179...182, 45...47].

Устойчивость коэффициентов статистических моделей обеспечивается путем введения в модели ортогональных и слабо коррелированных эффектов (|r_ij(X_i, X_j)| ≤ 0,3...0,4) и нормированием эффектов.

Разработанная технология устойчивого оценивания регрессионных моделей апробирована при решении различных задач в области технических, технологических, материаловедческих и биологических систем [3...8], что соответствует ряду направлений научно-прикладных исследований на МКС.

Литература:

1. Радченко С.Г. Повышение эффективности экспериментальных исследований сложных систем и процессов // 7-я Международная научно-практическая конференция «Пилотируемые полеты в космос» (14...15 ноября 2007 г., Звездный городок): Сб. тез. – Звездный городок: РГНИИЦПК им. Ю.А. Гагарина, 2007. С. 59–61.
2. Радченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей: Монография: – Киев: ПП «Санспарель», 2005, 504 с.
3. Радченко С.Г. Математическое моделирование технологических процессов в машиностроении. – Киев: ЗАО «Укрспецмонтажпроект», 1998, 274 с.
4. Радченко С.Г., Бабич П.Н. Информационная коррекция переменных систематических погрешностей средств измерений и измерительных информационных систем // Радиоэлектроника и информатика. 1999, №3(8). С. 82–88.
5. Многофакторная математическая модель термонапряженной электроизоляции / Иерусалимов М.Е., Соколовский С.А., Радченко, С.Г. Романенко Ю.В., Лапач С.Н. // Электричество. 1991, №8. С. 40–45.
6. Кравченко М.А., Ларин В.К., Радченко С.Г. Термическая обработка алюминиевых бронз, обладающих эффектом запоминания формы // Металловедение и термическая обработка металлов. 1990, №12. С. 37–40.
7. Оптимизация технологических условий сварки полиэтиленовых труб / С.Г. Радченко, Ю.С. Бурбело, Э.В. Котенко, С.Н. Лапач, Ю.А. Сидоренко, B.C. Лищинский // Пластические массы. 1988, №9. С. 29–31.
8. Лаборатория экспериментально-статистических методов исследований (ЛЭСМИ).

Ранее опубликовано:

Радченко С.Г. Технология устойчивого оценивания регрессионных моделей // Пилотируемые полеты в космос: VIII Международная науч.-практ. конф., 28...29 окт. 2009 г., Звездный городок, Московская обл., Российская Федерация: сб. тезисов. – Звездный городок: ФГБУ «НИИ ЦПК им. Ю.А. Гагарина», 2009. – С. 115–118.