Перейти в начало сайта Перейти в начало сайта
Электронная библиотека «Наука и техника»
n-t.ru: Наука и техника
Начало сайта / Совместные проекты / ЛЭСМИ
Начало сайта / Совместные проекты / ЛЭСМИ

Научные статьи

Физика звёзд

Физика микромира

Журналы

Природа

Наука и жизнь

Природа и люди

Техника – молодёжи

Нобелевские лауреаты

Премия по физике

Премия по химии

Премия по литературе

Премия по медицине

Премия по экономике

Премия мира

Книги

Во главе двух академий

Доктор занимательных наук

Механизм ответственной власти

Популярная информатика

Луи де Бройль. Революция в физике

Ученые – популяризаторы науки

Издания НиТ

Батарейки и аккумуляторы

Охранные системы

Источники энергии

Свет и тепло

Научно-популярные статьи

Наука сегодня

Научные гипотезы

Теория относительности

История науки

Научные развлечения

Техника сегодня

История техники

Измерения в технике

Источники энергии

Наука и религия

Мир, в котором мы живём

Лит. творчество ученых

Человек и общество

Образование

Разное

Планы экспериментов для получения моделей высокой точности

С.Г. Радченко, О.В. Козырь

УДК 519.242:519.6

Исследованы статистические свойства ЛПτ последовательностей. Проведено их ранжирование по критерию минимального коэффициента парной корреляции. Приведены планы экспериментов с возможностью последовательного планирования. Полученные результаты подтверждают выдвинутую гипотезу о преимуществе ЛПτ планов экспериментов при аппроксимации исходных данных и получении структур моделей соответствующих структурам истинных моделей.

Ключевые слова: ЛПτ равномерно распределенные последовательности, планирование эксперимента, корреляция, аппроксимация.

Досліджені статистичні властивості ЛПτ послідовностей. Проведено їх ранжування за критерієм мінімального коефіцієнта парної кореляції. Наведено плани експериментів з можливістю послідовного планування. Отримані результати підтверджують висунуту гіпотезу про перевагу ЛПτ планів експериментів при апроксимації вихідних даних та одержанні структур моделей відповідних структурам істинних моделей.

Ключові слова: ЛПτ рівномірно розподілені послідовності, планування експерименту, кореляція, апроксимація.

Statistic features of the LPτ sequences are examined in the article. They are ranged according to the criterion of minimum coefficient of pair correlation. The plans of experiments with ability of consistent planning are presented as well. Received results confirm the advanced hypothesis about advantage of the LPτ plans of experiments in approximation the initial data and receiving the architectures of models corresponding to the architectures of the true models.

Keywords: LPτ uniformly distributed sequences, experiment designs, correlation, approximation.

Постановка проблемы

Планы экспериментов должны соответствовать различным критериям качества. Критерии, позволяющие выбрать структуру математической модели, практически не используются. Статистические свойства планов, в которых точки размещены квазислучайно в многофакторном пространстве (по известным публикациям), исследованы слабо.

При выборе структуры математической модели главные эффекты и эффекты взаимодействий должны быть ортогональными или слабо коррелированными. Это требование достигается путем равномерного распределения точек плана эксперимента в многофакторном пространстве. ЛПτ последовательности являются наиболее равномерно распределенными в настоящее время последовательностями.

Применение ЛПτ последовательностей не ограничивается вычислением многомерных интегралов, случайным поиском (ЛПτ поиск), задачами многокритериальной оптимизации. В [1] приведены статистические свойства некоторых планов на основе ЛПτ равномерно распределенных последовательностей. О возможности их использования в качестве планов экспериментов упоминается в [2].

Анализ публикаций по теме исследования

В [1] изложено оптимальное планирование эксперимента в системе «план эксперимента – структура модели». Предложены рекомендации по использованию ЛПτ планов экспериментов, как планов, имеющих значительное число уровней si = N и позволяющих получить больше исходной информации об аппроксимируемой поверхности отклика для непрерывных факторов. Однако конкретные планы экспериментов не приведены.

Применение квазислучайных последовательностей в имитационном моделировании рассматривается в статье [3]. Показано отличие между квазислучайными и псевдослучайными последовательностями. Рассмотрены некоторые статистические свойства ЛПτ последовательностей.

Разработанные И.М. Соболем ЛПτ последовательности, предназначенные изначально для расчета многомерных интегралов, стали позже применяться и для реализации поисковых процедур. Сетки на основе ЛПτ последовательностей, построенные в k-мерном пространстве параметров исследуемых функций, позволяют определить, какие из варьируемых параметров с заданной вероятностью оказывают существенное влияние на значения критериев качества. По заданной метрике между текущим значением критерия качества и его экстремальным значением можно определить области концентрации наилучших значений критериев качества, построить в многомерном пространстве критериев качества множество Парето [4, 5].

Имеются публикации об использовании ЛПτ последовательностей в задачах оптимального проектирования машин и механизмов [6...8]. При оптимальном проектировании машин и механизмов значительный интерес представляет решение вопросов снижения размерности пространства поиска в целях сокращения объема исследовательских работ. В [6, 7] использовался комбинированный способ построения матрицы планирования методом случайного баланса с помощью ЛПτ сеток и дальнейшей статистической обработки результатов экспериментов. Использование данной методики обусловлено значительно лучшей оценкой равномерности распределения ЛПτ последовательностей по осям и в пространстве параметров по сравнению с другими последовательностями [6].

Нерешенные вопросы

Использование ЛПτ последовательностей в качестве планов экспериментов носит несистемный и ограниченный характер, в основном, связанный с вопросами оптимизации. Научных публикаций по этому вопросу мало. Не приводятся конкретные планы экспериментов. Отсутствуют статистические исследования по выявлению коррелированности ЛПτ последовательностей и их ранжирования. Не рассматривалось использование ЛПτ последовательностей при последовательном планировании экспериментов. Не исследовалось качество получаемых моделей.

Цель статьи

Исследование статистических свойств ЛПτ равномерно распределенных последовательностей. Их ранжирование по критерию минимального коэффициента парной корреляции. Построение планов экспериментов с возможностью последовательного планирования. Проверка возможности построения адекватных математических моделей путем аппроксимации известной функции с помощью планов на основе ЛПτ последовательностей и сравнения их с многофакторными регулярными планами (МРП).

Статистические свойства ЛПτ равномерно распределенных последовательностей

Разработанные И.М. Соболем ЛПτ последовательности обладают более хорошими свойствами равномерности распределения, чем любые другие последовательности точек в многомерном единичном кубе. Распределение ЛПτ последовательностей в двумерном пространстве приведено на рис. 1а...г.

Расположение точек ЛП? последовательностей на плоскости

Рис. 1а. Расположение точек ЛПτ последовательностей на плоскости: опытов – 15

Расположение точек ЛП? последовательностей на плоскости

Рис. 1б. Расположение точек ЛПτ последовательностей на плоскости: опытов – 23

Расположение точек ЛП? последовательностей на плоскости

Рис. 1в. Расположение точек ЛПτ последовательностей на плоскости: опытов – 31

Расположение точек ЛП? последовательностей на плоскости

Рис. 1г. Расположение точек ЛПτ последовательностей на плоскости: опытов – 31

Использование точек ЛПτ последовательностей, равномерно распределенных в этом кубе, обеспечивает более высокую точность вычислений по некоторым алгоритмам Монте-Карло и более равномерный просмотр пространства параметров при решении задач многофакторной оптимизации для поиска экстремальных значений критериев качества. Теория и алгоритмы построения ЛПτ равномерно распределенных последовательностей приведены в многочисленных работах д.ф.-м.н. И.М. Соболя [8, с. 133...158].

Свойства ЛПτ последовательностей:

  1. Выбор в качестве точек плана эксперимента, в многомерном пространстве, ЛПτ равномерно распределенных последовательностей, позволяет получить сравнительно слабо коррелированные главные эффекты и эффекты взаимодействий факторов при выборе структуры математической модели.
  2. С увеличением числа опытов N вероятность получения в плане эксперимента точек, достаточно близких к точкам экстремума и перегиба поверхности отклика, стремится к единице, а коэффициент корреляции rij между различными эффектами стремится к нулю [1, с. 106].
  3. Проекция любой ЛПτ последовательности из N точек в k-мерном пространстве на (k – j)-мерную грань (1 ≤ j ≤ k – 1) многомерного единичного куба образует также равномерно распределенную последовательность из N проекций точек [8, с. 134].

Точки плана эксперимента должны быть равномерно расположены в пространстве параметров Rk. Методика построения ЛПτ последовательностей [8] позволяет построить максимальное число последовательностей равное 51, количество точек – 220. В исследовании использовались все последовательности. Оно показало, что равномерно заполняют пространство следующие количества точек: N = 1; 3; 7; 15; 31; 63 и т.д. Проанализировав корреляционные матрицы, построенные для точек N = 15; 23; 31, были выявлены последовательности с коэффициентами парной корреляции |rij| = 1 (рис. 2).

Распределение коэффициентов корреляции ЛП? последовательностей

Рис. 2а. Распределение коэффициентов корреляции ЛПτ последовательностей (k = 51): N = 15;
среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,2350;
среднее квадратичное отклонение 0,2370

Распределение коэффициентов корреляции ЛП? последовательностей

Рис. 2б. Распределение коэффициентов корреляции ЛПτ последовательностей (k = 51): N = 23;
среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,2024;
среднее квадратичное отклонение 0,2316

Распределение коэффициентов корреляции ЛП? последовательностей

Рис. 2в. Распределение коэффициентов корреляции ЛПτ последовательностей (k = 51): N = 31;
среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,1623;
среднее квадратичное отклонение 0,2270

Ранжирование последовательностей проводилось по следующей методике. Находилось минимальное значение коэффициента корреляции rij. К номерам последовательностей, соответствующих rij min, прибавляются остальные номера с условием минимальной коррелированности со всеми выбранными ранее. При этом исследование проводилось для трех матриц с целью обеспечения возможности последовательного планирования. Коэффициенты корреляции между последовательностями не должны превышать по абсолютной величине значения 0,4. Ранжированные таким методом номера последовательностей представлены в табл. 1.

Таблица 1

Номера ЛПτ последовательностей, ранжированных по rij min

 Номера ЛПτ последовательностей
ξ10ξ29ξ2ξ7ξ4ξ14ξ26ξ28
Коэффициенты парной корреляции max |rij|
N1 = 1...150,08570,08570,02860,20000,20000,20000,20000,2000
N2 = 1...230,00290,00290,06830,21080,18100,35320,38880,3590
N3 = 1...310,04520,04520,10970,08390,09680,09680,09680,1097

В результате ранжирования ЛПτ последовательностей было получено максимально возможное количество слабо коррелированных последовательностей k = 8 (N = 15). Для последующего исследования были взяты такие значения: k = 8; N1 = 1...15; N2 = 1...23; N3 = 1...31. По ним были построены корреляционные матрицы. Распределение коэффициентов корреляции для каждой матрицы приведены на рис. 3.

Диаграммы распределения коэффициентов корреляции ЛП?

Рис. 3а. Диаграммы распределения коэффициентов корреляции ЛПτ последовательностей ξ10, ξ29, ξ2, ξ7, ξ4, ξ14, ξ26, ξ28: N = 15;
среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,1367;
среднее квадратичное отклонение 0,0441

Диаграммы распределения коэффициентов корреляции ЛП?

Рис. 3б. Диаграммы распределения коэффициентов корреляции ЛПτ последовательностей ξ10, ξ29, ξ2, ξ7, ξ4, ξ14, ξ26, ξ28: N = 23;
среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,1251;
среднее квадратичное отклонение 0,0984

Диаграммы распределения коэффициентов корреляции ЛП?

Рис. 3в. Диаграммы распределения коэффициентов корреляции ЛПτ последовательностей ξ10, ξ29, ξ2, ξ7, ξ4, ξ14, ξ26, ξ28: N = 31;
среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,0714;
среднее квадратичное отклонение 0,0270

Результаты исследования показали, что максимальные коэффициенты корреляции для ранжированных последовательностей не превышают 0,3888.

Полученные последовательности можно использовать в качестве планов экспериментов с возможностью последовательного планирования. Последовательное планирование заключается в том, что изначально для проведения экспериментов берется 15 точек. Если таковых окажется недостаточно, то, используя ранее полученные результаты, проводят эксперименты для точек N = 16...23 и N = 24...31. Точки выбранных последовательностей приведены в табл. 2.

Таблица 2

Точки ЛПτ последовательностей

 ξ10ξ29ξ2ξ7ξ4ξ14ξ26ξ28
10,50,50,50,50,50,50,50,5
20,250,750,250,750,750,250,250,75
30,750,250,750,250,250,750,750,25
40,3750,3750,8750,8750,6250,1250,6250,125
50,8750,8750,3750,3750,1250,6250,1250,625
60,1250,6250,6250,1250,3750,3750,8750,875
70,6250,1250,1250,6250,8750,8750,3750,375
80,68750,68750,06250,93750,43750,43750,68750,4375
90,18750,18750,56250,43750,93750,93750,18750,9375
100,93750,43750,31250,18750,68750,18750,93750,6875
110,43750,93750,81250,68750,18750,68750,43750,1875
120,81250,81250,93750,06250,81250,31250,06250,3125
130,31250,31250,43750,56250,31250,81250,56250,8125
140,56250,06250,68750,81250,06250,06250,31250,5625
150,06250,56250,18750,31250,56250,56250,81250,0625
160,656250,968750,593750,468750,343750,156250,093750,40625
170,156250,468750,093750,968750,843750,656250,593750,90625
180,906250,218750,843750,718750,593750,406250,343750,65625
190,406250,718750,343750,218750,093750,906250,843750,15625
200,781250,593750,468750,593750,968750,031250,718750,28125
210,281250,093750,968750,093750,468750,531250,218750,78125
220,531250,343750,218750,343750,218750,281250,968750,53125
230,031250,843750,718750,843750,718750,781250,468750,03125
240,093750,281250,531250,531250,156250,343750,656250,09375
250,593750,781250,031250,031250,656250,843750,156250,59375
260,343750,531250,781250,281250,906250,093750,906250,84375
270,843750,031250,281250,781250,406250,593750,406250,34375
280,468750,156250,406250,406250,531250,468750,031250,21875
290,968750,656250,906250,906250,031250,968750,531250,71875
300,218750,906250,156250,656250,281250,218750,281250,96875
310,718750,406250,656250,156250,781250,718750,781250,46875

Для получения адекватной структуры уравнения регрессии с максимально устойчивыми коэффициентами используют ортогональные контрасты. Теоретические сведения и алгоритмы построения ортогональных нормированных контрастов приведено в [1, с. 54...63]. Коэффициенты корреляции главных эффектов и взаимодействий ортогональных контрастов показаны на рис. 4.

Диаграммы распределения коэффициентов корреляции главных эффектов и взаимодействий ЛП? последовательностей

Рис. 4а. Диаграммы распределения коэффициентов корреляции главных эффектов и взаимодействий ЛПτ последовательностей ξ10, ξ29, ξ2, ξ7, ξ4, ξ14, ξ26, ξ28: N = 15;
среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,2676;
среднее квадратичное отклонение 0,1948

Диаграммы распределения коэффициентов корреляции главных эффектов и взаимодействий ЛП? последовательностей

Рис. 4б. Диаграммы распределения коэффициентов корреляции главных эффектов и взаимодействий ЛПτ последовательностей ξ10, ξ29, ξ2, ξ7, ξ4, ξ14, ξ26, ξ28: N = 23;
среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,1978;
среднее квадратичное отклонение 0,1578

Диаграммы распределения коэффициентов корреляции главных эффектов и взаимодействий ЛП? последовательностей

Рис. 4в. Диаграммы распределения коэффициентов корреляции главных эффектов и взаимодействий ЛПτ последовательностей ξ10, ξ29, ξ2, ξ7, ξ4, ξ14, ξ26, ξ28: N = 31;
среднее абсолютных величин коэффициентов корреляции 0,1862;
среднее квадратичное отклонение 0,1491

Вычислительный эксперимент

Сравнение результатов аппроксимации функции Химмельблау [9, с. 80] с помощью моделей многофакторных регулярных планов: 42 // 16, 52 // 25 и планов на основе ЛПτ последовательностей: 152 // 15, 312 // 31.

Функция Химмельблау:

f(X) = (X12 + X2 – 11)2 + (X1 + X22 – 7)2,

где X1 = –6,0...6,0; X2 = –6,0...6,0.

Погрешности ошибок результатов экспериментов не вводились, так как они бы исказили истинные результаты аппроксимации.

Модель плана 152 // 15 с ортогональными контрастами:

ŷ1 = 230,395 + 104,731·v2 + 244,832·z2 + 303,923·z1·x2 +
+ 106,031·z1 + 114,322·v1 – 48,6134·v1·v2 + 32,6214·x2 ,

x1 = 0,190476 · X1 ,

z1 = 1,61538 · (x12 – 0,380952),

v1 = 6,99592 · (x14 – 0,965015·x12 + 0,107955),

x2 = 0,190476 · X2 ,

z2 = 1,61538 · (x22 – 0,380952),

v2 = 6,99592 · (x24 – 0,965015·x22 + 0,107955).

Модель плана 312 // 31 с ортогональными контрастами:

ŷ2 = 243,018 + 323,731·z2 + 186,533·v1 + 186,227·v2 +
+ 160,781·z1 + 220,529·z1·x2 + 220,956·x1·z2 + 46,4594·x1 ,

x1 = 0,177778 · X1 ,

z1 = 1,55172 · (x12 – 0,355556),

v1 = 5,38793 · (x14 – 0,91111·x12 + 0,0967111),

x2 = 0,177778 · X2 ,

z2 = 1,55172 · (x22 – 0,355556),

v2 = 5,38793 · (x24 – 0,91111·x22 + 0,0967111),

Линии равных значений функций и точки планов показаны на рис. 5...8. Полученная модель плана 42 // 16 хорошо аппроксимирует заданные точки, однако не соответствует истинной модели в других точках (рис. 7). Модель плана 152 // 15 не соответствует истинной модели (Химмельблау). При увеличении числа уровней и использовании плана 312 // 31 модель соответствует полностью истинной модели, т.е. модели Химмельблау. Для ЛПτ планов вероятность расположения пробных точек к экстремальным значениям истинной модели существенно выше, чем для многофакторных регулярных планов.

Максимальная степень полинома плана 52 // 25, как и модели Химмельблау, равна четырем, в то время как модели плана 42 // 16 – трем. Поэтому модель плана 42 // 16 не соответствует модели Химмельблау, а модель плана 52 // 25 – соответствует. Однако в реальных прикладных задачах исследователю истинная модель не известна.

Линии уровней функции Химмельблау

Рис. 5. Линии уровней функции Химмельблау

Размещение точек планов аппроксимации

Рис. 6а. Размещение точек планов аппроксимации: точки плана 152 // 15

Размещение точек планов аппроксимации

Рис. 6б. Размещение точек планов аппроксимации: точки плана 312 // 31

Размещение точек планов аппроксимации

Рис. 6в. Размещение точек планов аппроксимации: точки плана 42 // 16

Размещение точек планов аппроксимации

Рис. 6г. Размещение точек планов аппроксимации: точки плана 52 // 25

Линии уровней функции Химмельблау

Рис. 7. Линии уровней функции Химмельблау, моделей планов: 152 // 15, 42 // 16

Линии уровней функции Химмельблау

Рис. 8. Линии уровней функции Химмельблау, моделей планов: 312 // 31, 52 // 25

Поэтому для решения реальных задач необходимо использовать план на основе ЛПτ равномерно распределенных последовательностей 312 // 31. Анализ информативности моделей приведен в табл. 3.

Таблица 3

Анализ информативности моделей

  ЛПτ МРП
152 // 15312 // 3142 // 1652 // 25
Доля рассеивания,
объясняемая моделью
0,9879660,9963731,0000001,000000
Коэффициент множественной корреляции 0,9939650,9981851,0000001,000000
скорректированный с учетом степеней свободы0,9894150,9977310,9856021,000000
Число обусловленности COND2,0597001,415961,0000001,000000
Анализ остатков по исходной матрице
Средняя абсолютная погрешность аппроксимации16,126902,1560602,27374e–130,000480
Средняя погрешность аппроксимации
в процентах
96,268104,2069602,58356e–130,002568
Анализ остатков по контрольной матрице N = 63
Средняя абсолютная погрешность аппроксимации61,077802,335160221,71200,000611
Средняя погрешность аппроксимации
в процентах
68,997102,707620586,64400,002128

Выводы

Исследованные планы экспериментов на основе ЛПτ последовательностей (табл. 2) характеризуются минимально возможной коррелированностью (|rij| ≤ 0,4). Полученные результаты подтверждают выдвинутую гипотезу о преимуществе ЛПτ планов экспериментов при аппроксимации исходных данных и получении структур моделей, соответствующих структурам истинных моделей. Эти планы позволяют проводить последовательное планирование экспериментов.

 

Список литаратуры:

  1. Радченко С.Г. Методология регрессионного анализа. Монография / Радченко С.Г. – К.: «Корнійчук», 2011. – 376 с.
  2. Орлов В.А. Новое семейство квазислучайных последовательностей / В.А. Орлов, В.И. Рейзлин // Известия Томского политехнического университета. 2012. – Т. 320. – №2.
  3. Ermakov S. On the Quasi-Random Sequence in the Random Processes Modeling Algorithms // S. Ermakov, T. Tovstik // Focus on Applied Statistics. Nova Science Publishers. 2003. – P. 91...102.
  4. Соболь И.М. ЛП-поиск и задачи оптимального проектирования / И.М Соболь, Р.Б. Статников // Проблемы случайного поиска: сб. статей. – Рига.: Зинатне, 1972. – С. 117...135.
  5. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Физматлит, 1969. – 288 с.
  6. Крейнин В.Г. Планирование экспериментов с помощью ЛПτ-сеток при решении задач оптимального проектирования / В.Г. Крейнин, В.И. Сергеев, И.Н. Статников, И.Т. Чернявский // АН СССР. Моделирование задач машиноведения на ЭВМ: сб. статей. – М.: Наука, 1967. – С. 26...31.
  7. Балакшин О.Б. Использование методов планирования экспериментов при проектировании динамических систем / О.Б. Балакшин, В.П. Гусев, В.А. Ковановская, и др. // АН СССР. Моделирование задач машиноведения на ЭВМ: сб. статей. – М.: Наука, 1967. – С. 32...36.
  8. Соболь И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями / И.М. Соболь, Р.Б. Статников. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2006. – 175 с.
  9. Реклейте Г. Оптимизация в технике / Г. Реклейте, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел.
    В 2-х кн. Пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – Кн. 1. – 345 с.

Ранее опубликовано:

Радченко С.Г. Планы экспериментов для получения моделей высокой точности / С.Г. Радченко, О.В. Козырь // Математичні машини і системи. – 2014. – № 2. – С. 117...127.

Дата публикации:

21 апреля 2015 года

Электронная версия:

© НиТ. Совместные проекты, 1998

В начало сайта | Книги | Статьи | Журналы | Нобелевские лауреаты | Издания НиТ | Подписка
Карта сайта | Cовместные проекты | Журнал «Сумбур» | Игумен Валериан | Техническая библиотека
© МОО «Наука и техника», 1997...2017
Об организацииАудиторияСвязаться с намиРазместить рекламуПравовая информация
Яндекс цитирования
Яндекс.Метрика