Перейти в начало сайта Перейти в начало сайта
Электронная библиотека «Наука и техника»
n-t.ru: Наука и техника
Начало сайта / Совместные проекты / ЛЭСМИ
Начало сайта / Совместные проекты / ЛЭСМИ

Научные статьи

Физика звёзд

Физика микромира

Журналы

Природа

Наука и жизнь

Природа и люди

Техника – молодёжи

Нобелевские лауреаты

Премия по физике

Премия по химии

Премия по литературе

Премия по медицине

Премия по экономике

Премия мира

Книги

Во главе двух академий

Загадки простой воды

Квантовый мир

Пионеры атомного века

У истоков дизайна

Цепная реакция идей

Издания НиТ

Батарейки и аккумуляторы

Охранные системы

Источники энергии

Свет и тепло

Научно-популярные статьи

Наука сегодня

Научные гипотезы

Теория относительности

История науки

Научные развлечения

Техника сегодня

История техники

Измерения в технике

Источники энергии

Наука и религия

Мир, в котором мы живём

Лит. творчество ученых

Человек и общество

Образование

Разное

Планирование эксперимента в нестандартных областях факторного пространства

УДК 519.242:519.233.5

Станислав Радченко

Постановка проблемы

Многофакторные статистические модели получили значительное распространение в научных и прикладных исследованиях. Они используются при создании и совершенствовании различных сложных систем. Статистические модели особенно необходимы в тех случаях, когда возможности конструирования, производства и эксплуатации, основанные на традиционных физических принципах, исчерпаны или приводят к нецелесообразно большим затратам.

При получении статистических регрессионных моделей необходимо использовать методологию теории планирования эксперимента [1, 2]. Известные традиционные методы планирования многофакторного эксперимента предполагают формы факторных пространств в виде многомерных прямоугольного параллелепипеда (куба), сферы и симплекса. В нестандартных областях факторного пространства поиск наилучших условий получения моделей в общем виде по публикациям не известен, кроме метода регуляризации. Единичные случаи таких задач решались численными методами.

Анализ достижений и публикаций по теме исследования

Причины возникновения нестандартных областей факторного пространства следующие: 1) параметры (факторы) однородного ряда технических и технологических объектов связаны зависимостью близкой к линейной [3, с. 338], 2) обработка результатов эксперимента при условии, что уровни факторов не могут быть достаточно точно выдержаны по матрице плана эксперимента, 3) Обработка результатов пассивного (специально не организованного) эксперимента.

В нестандартных областях факторного пространства наблюдается корреляция факторов и, следовательно, их главных эффектов и взаимодействий при построении регрессионных моделей. Мультиколлинеарность эффектов (взаимная сопряженность их) затрудняет или делает невозможным устойчивое определение структуры и коэффициентов уравнения регрессии, содержательную интерпретацию причинных и структурных связей между эффектами и моделируемым откликом. При значительной мультиколлинеарности эффектов задача является некорректно поставленной и целесообразное использование уравнения регрессии теряет смысл.

Редактор русского перевода сборника статей [4] д.ф.-м.н. Н.Г. Волков считает, что «необходимы устойчивые методы и алгоритмы, обладающие ясными математическими свойствами в смысле их оптимальности» [4, с. 6].

Особенностью широко используемого при получении статистических моделей метода наименьших квадратов является его неустойчивость, «если не делать каких-то дополнительных предположений, которые трудно проверяемы» [5, с. 94]. Поэтому при решении прикладной задачи необходимо, по мнению исследователя, не только сформулировать систему необходимых предпосылок, но и методики их проверок [6]; устойчивость предпосылок и метода получения моделей к сравнительно малым нарушениям принятых условий; систему действий исследователя, если принятые предпосылки не выполняются фактически [7, с. 55...65].

Ведущий научный сотрудник механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова А.М. Шурыгин, обсуждая проблему устойчивости оценивания параметров распределения и статистических моделей, приходит к следующему выводу. «В классической статистике отсутствует понятие устойчивости решения, и этим она невыгодно отличается от других ветвей прикладной математики. Предполагается, что если решение оптимально в рассматриваемой модели, то в похожей модели оно будет близко к оптимальному. Но такое предположение не обосновано. На «неуниверсальность» оценок максимума правдоподобия указывал А.Н. Колмогоров» [8, c. 161].

Некоторые специалисты констатируют сложность и трудность решения проблемы мультиколлинеарности: «Однозначного ответа на этот вопрос нет» [9, c. 94].

Цель статьи

Обоснование методов устойчивого оценивания структуры и коэффициентов многофакторных статистических моделей для произвольных (нестандартных) форм факторного пространства с наилучшими возможными критериями качества полученных моделей.

Основная часть

Факторное пространство, соответствующее многомерному прямоугольному параллелепипеду, принимается за прообраз факторного пространства Rпр. Используя методы планирования эксперимента, в прообразе всегда можно получить статистические модели с наилучшими характеристиками. Произвольная область факторного пространства, не соответствующая стандартной форме, принимается за образ факторного пространства Rо. Получить в нем статистические модели с наилучшими характеристиками традиционными методами не представляется возможным. Необходимо найти метод перехода от заданного плохо обусловленного факторного пространства Rо образа к хорошо обусловленному факторному пространству Rпр прообраза, в котором и необходимо решать поставленную задачу.

Впервые предложено использовать топологическое отображение прообраза факторного пространства в образ факторного пространства [7, c. 190...197]. Две системы Rпр и Rо при взаимно однозначном и взаимно непрерывном отображении будут изоморфными, т. е. равными по виду, форме. Понятие изоморфизма включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма. Гомеоморфные пространства топологически эквивалентны. При рассмотрении топологического отображения метрические свойства множеств Xпр (прообраз) и Xо (образ) не используются. Следовательно, отображаемые множества Xпр, Xо могут характеризоваться различными метрическими свойствами.

Сформулированы в общем виде пять методов ортогонального представления коррелированных факторов.

1) Ортогональность представления коррелированных факторов путем отображения точек прообраза – значений уровней факторов Xiuпр в соответствующие им точки образа – значения уровней факторов Xiuо (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ u ≤ N) [7, c. 195].

Xiо = f iотоб (X1пр, ..., Xkпр).(1)

Функции fiотоб и обратные функции fiотоб–1 должны быть непрерывны.

Функции отображения fiотоб впервые предлагается для случая линейного ограничения формы образа задавать в виде структуры полного факторного эксперимента 2k.

(1 + x1)(1 + x2)...(1 + xk) → NП.

Для случая криволинейного ограничения формы образа впервые предлагается использовать ограничительные линии второго порядка и криволинейные поверхности, полученные на основе структуры многофакторного эксперимента 3k или 3k–p.

(1 + x1 + z1)(1 + x2 + z2)...(1 + xk + zk) → NП(NД),

где 1 – значение фиктивной независимой переменной x0 ≡ 1; x1, x2, ..., xk – линейные ортогональные контрасты факторов X1, X2, ..., Xk; z1, z2, ..., zk – квадратичные ортогональные контрасты факторов X1, X2, ..., Xk; k – число факторов; NП(NД) – общее число структурных элементов, равное соответственно 2k, 3k или 3k–p; p – дробность реплики; p = 1; 2 для k = 4; 5. Предполагается, что k = 2, ..., 5.

Коэффициенты функции отображения fiотоб определяют, используя метод наименьших квадратов.

На рис. 1, 2 и рис. 3, 4 показаны области образа и прообраза соответственно при линейных и криволинейных ограничениях образа для k = 2; 3. Однозначность функции fiотоб–1 была подтверждена путем анализа якобиана: в области прообраза он не равен нулю. Коэффициенты парной корреляции факторов rij(Xiо, Xjо) в образе отличны от нуля, а в собственных кодированных координатах образа rij(xiо, xjо) и в прообразе rij(Xiпр, Xjпр) равны нулю.

Системы натуральных и собственных кодированных координат областей образа и прообраза при линейном ограничении образа, k=2

Рис. 1. Системы натуральных и собственных кодированных координат областей образа и прообраза при линейном ограничении образа, k = 2

Области образа и прообраза при линейном ограничении образа, k=3

Рис. 2. Области образа и прообраза при линейном ограничении образа, k = 3

Отображение точек плана эксперимента Xiuпр прообраза в точки Xiuо образа с использованием функций отображения (1) фактически представляет получение плана эксперимента в образе при условии использования в прообразе и образе собственной кодированной системы координат (рис. 3).

Хорошие свойства оценок коэффициентов статистических моделей в области прообраза и их единственность сохраняется при топологическом отображении и в области образа, что следует из доказанной проф. Т. Андерсоном леммы 3.2.3 и следствия из нее 3.2.1 [10, c. 69].

Системы натуральных и собственных кодированных координат областей образа и прообраза при криволинейном ограничении образа, k=2

Рис. 3. Системы натуральных и собственных кодированных координат областей образа и прообраза при криволинейном ограничении образа, k = 2

Области образа и прообраза при криволинейном ограничении образа, k=3

Рис. 4. Области образа и прообраза при криволинейном ограничении образа, k = 3

В основу исследования и обоснования топологического отображения принята теория групп преобразований. Фигуры прообраза Фпр и образа Фо находятся в отношении эквивалентности, так как для них выполняются бинарные отношения эквивалентности: рефлексивность, симметричность, транзитивность. Гомеоморфность фигур Фпр и Фо была подтверждена проведенным вычислительным экспериментом [7, c. 295...298].

Другие методы и подходы устойчивого оценивания статистических моделей: 2) установление собственной кодированной системы координат в области прообраза и в области образа [7, c. 286...289], 3) планирование эксперимента с использованием фиктивных факторов [7, c. 328...341], 4) применение сложных функций [7, c. 341...344], 5) выбор оптимальных координат факторного пространства [7, c. 344...351].

Выводы и перспективы дальнейших исследований

1. Впервые предложен, разработан и обоснован метод гомеоморфного отображения для построения оптимальных планов экспериментов и повышения устойчивости регрессионных моделей в условиях взаимной сопряженности факторов.

2. При использовании разработанного метода устойчивого оценивания в произвольной по форме факторном пространстве образа можно планировать эксперимент и получать наилучшие возможные критерии качества статистических моделей.

В дальнейшем необходимо продолжить разработку анализа вкладов эффектов факторов Xiо по полученным статистическим моделям в области образа.

 

Литература:

  1. Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука. – 1971. – 208 с. – (Физико-математическая библиотека инженера).
  2. Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования эксперимента. – 2-е изд., перераб. и доп.– М.: Металлургия, 1981. – 152 с.
  3. Половинкин А.И. Основы инженерного творчества: Учеб. пособие для студентов втузов. – М.: Машиностроение, 1988. – 368 с.
  4. Устойчивые статистические методы оценки данных / Пер. с англ. Ю.И. Малахова; Под ред. Н.Г. Волкова. – М.: Машиностроение, 1984. – 232 с.
  5. Тихонов А.Н. [Выступление на годичном общем собрании Академии наук СССР] // Вестн. Акад. наук СССР. – 1989. – № 2. – C. 94–95.
  6. Радченко С.Г. Система предпосылок регрессионного анализа и ее выполнение при проведении прикладных исследований // Вестн. Нац. техн. ун-та Украины «Киев. политехн. ин-т». Машиностроение. – 2001. – Вып. 41. – С. 20–27.
  7. Радченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей: Монография. – К.: ПП «Санспарель», 2005. – 504 с.
  8. Шурыгин А.М. Прикладная стохастика: робастность, оценивание, прогноз. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 224 с.
  9. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начал. курс: Учебник. – 5-е изд., испр. – М.: Дело, 2001. – 400 с.
  10. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ / Пер. с англ. Ю.Ф. Кичатова; Под ред. Б.В. Гнеденко. – М.: Физматгиз, 1963. – 500 с.

Ранее опубликовано:

Радченко С.Г. Планирование эксперимента в нестандартных областях факторного пространства // Вестник ХНТУ. 2007. №2(28). – С. 281...285: ил. 4. – Библиогр.: 10 назв.

Дата публикации:

6 октября 2007 года

Электронная версия:

© НиТ. Совместные проекты, 1998

В начало сайта | Книги | Статьи | Журналы | Нобелевские лауреаты | Издания НиТ | Подписка
Карта сайта | Cовместные проекты | Журнал «Сумбур» | Игумен Валериан | Техническая библиотека
© МОО «Наука и техника», 1997...2017
Об организацииАудиторияСвязаться с намиРазместить рекламуПравовая информация
Яндекс цитирования
Яндекс.Метрика