Задача 55. Волны и поплавки

Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов

А.

Эта задача является продолжением предыдущей. Пусть впереди и позади пловца на воде лежат поплавки, покачивающиеся на проходящих под ними волнах. Сколько колебаний в минуту совершает каждый из поплавков, если пловец создает 120 волн в минуту (120 взмахов руками)? Как меняется частота колебаний поплавков, если изменяется скорость пловца? Будем при этом предполагать, что частота взмахов рук остается прежней, а скоростью пловец управляет за счет того, что делает взмахи более или менее энергичными.

Б.

Из рис. 73 видно, что длина волны λ₁, распространяющейся к первому поплавку A₁ больше длины волны λ₂, идущей ко второму поплавку A₂. Удобно начинать расчет с того, чтобы найти λ₁ и λ₂.

Рис. 73. Схема расположения пловца, поплавков и волн

В.

Введем обозначения: f₀ – частота колебаний, создаваемых пловцом; v_п – скорость пловца; v_в – скорость волн. Найдем расстояния BC и BD от пловца B до n-й волны в направлениях к поплавкам A₁ и A₂. Центр окружности, изображающей n-ю волну, является точкой O, в которой находился пловец вместе с этой волной (в момент рождения волны).

Из рисунка видно, что OC = OD = v_вt_n, OB = v_пt_n, где t_n – время, протекшее с момента рождения n-й волны. Следовательно,

BC = OC + OB = (v_в + v_п)t_n, BD = OD – OB = (v_в – v_п)t_n.

С другой стороны,

BC = nλ₁ и BD = nλ₂.

Таким образом,

nλ₁ = (v_в + v_п)t_n, nλ₂ = (v_в – v_п)t_n.

Разделив левые и правые части этих формул на n и учитывая, что n / t_n = f₀, имеем

λ₁ = (v_в + v_п) / f₀, λ₂ = (v_в – v_п) / f₀.

Частоты колебаний поплавков a₁ и a₂, очевидно, равны

f₁ = v_в / λ₁ = f₀v_в / (v_в + v_п), f₂ = v_в / λ₂ = f₀v_в / (v_в – v_п).

Периоды же их колебаний равны соответственно

T₁ = 1 / f₁ = (v_в + v_п) / f₀v_в = T₀(1 + v_п / v_в),

T₂ = 1 / f₂ = (v_в – v_п) / f₀v_в = T₀(1 – v_п / v_в).

Пловец создает 120 волн в минуту, или 2 волны в секунду, т.е. f₀ = 2 Гц. Если v_в = 0,5 м/с и v_п = 0,25 м/с, то

λ₁ = (0,5 + 0,25) / 2 = 0,375 м = 37,5 см,

λ₂ = (0,5 – 0,25) / 2 = 0,125 м = 12,5 см,

f₀ = 2·0,5 / (0,5 + 0,25) = 1,33 Гц (80 колебаний в минуту),

f₂ = 2·0,5 / (0,5 – 0,25) = 4 Гц (240 колебаний в минуту).

Теперь можно подвести итоги. Частота колебаний поплавка A₁, от которого источник колебаний (пловец) удаляется, ниже частоты колебаний f₀ источника. Частота колебаний f₂ поплавка A₂, к которому источник колебаний приближается, выше частоты колебаний источника. Это явление представляет собой не что иное, как известный из других областей физики эффект Доплера. Сам Доплер открыл его в акустике: тон гудка паровоза выше, пока паровоз приближается к наблюдателю, но сразу же понижается, когда паровоз, пройдя мимо наблюдателя, начинает удаляться от него.

Картина волн на воде осложняется тем, что пловец создает волны не только руками, но и ногами. Кроме того, на поверхности воды скорость волны несколько зависит от ее длины. Поэтому круги на воде вокруг пловца будут не совсем точными.

• Задача 56. Письма с дороги

• Оглавление