Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов
Эта задача является продолжением предыдущей. Пусть впереди и позади пловца на воде лежат поплавки, покачивающиеся на проходящих под ними волнах. Сколько колебаний в минуту совершает каждый из поплавков, если пловец создает 120 волн в минуту (120 взмахов руками)? Как меняется частота колебаний поплавков, если изменяется скорость пловца? Будем при этом предполагать, что частота взмахов рук остается прежней, а скоростью пловец управляет за счет того, что делает взмахи более или менее энергичными.
Из рис. 73 видно, что длина волны λ1, распространяющейся к первому поплавку A1 больше длины волны λ2, идущей ко второму поплавку A2. Удобно начинать расчет с того, чтобы найти λ1 и λ2.
Рис. 73. Схема расположения пловца, поплавков и волн
Введем обозначения: f0 – частота колебаний, создаваемых пловцом; vп – скорость пловца; vв – скорость волн. Найдем расстояния BC и BD от пловца B до n-й волны в направлениях к поплавкам A1 и A2. Центр окружности, изображающей n-ю волну, является точкой O, в которой находился пловец вместе с этой волной (в момент рождения волны).
Из рисунка видно, что OC = OD = vвtn, OB = vпtn, где tn – время, протекшее с момента рождения n-й волны. Следовательно,
BC = OC + OB = (vв + vп)tn, BD = OD – OB = (vв – vп)tn.
С другой стороны,
BC = nλ1 и BD = nλ2.
Таким образом,
nλ1 = (vв + vп)tn, nλ2 = (vв – vп)tn.
Разделив левые и правые части этих формул на n и учитывая, что n / tn = f0, имеем
λ1 = (vв + vп) / f0, λ2 = (vв – vп) / f0.
Частоты колебаний поплавков a1 и a2, очевидно, равны
f1 = vв / λ1 = f0vв / (vв + vп), f2 = vв / λ2 = f0vв / (vв – vп).
Периоды же их колебаний равны соответственно
T1 = 1 / f1 = (vв + vп) / f0vв = T0(1 + vп / vв),
T2 = 1 / f2 = (vв – vп) / f0vв = T0(1 – vп / vв).
Пловец создает 120 волн в минуту, или 2 волны в секунду, т.е. f0 = 2 Гц. Если vв = 0,5 м/с и vп = 0,25 м/с, то
λ1 = (0,5 + 0,25) / 2 = 0,375 м = 37,5 см,
λ2 = (0,5 – 0,25) / 2 = 0,125 м = 12,5 см,
f0 = 2·0,5 / (0,5 + 0,25) = 1,33 Гц (80 колебаний в минуту),
f2 = 2·0,5 / (0,5 – 0,25) = 4 Гц (240 колебаний в минуту).
Теперь можно подвести итоги. Частота колебаний поплавка A1, от которого источник колебаний (пловец) удаляется, ниже частоты колебаний f0 источника. Частота колебаний f2 поплавка A2, к которому источник колебаний приближается, выше частоты колебаний источника. Это явление представляет собой не что иное, как известный из других областей физики эффект Доплера. Сам Доплер открыл его в акустике: тон гудка паровоза выше, пока паровоз приближается к наблюдателю, но сразу же понижается, когда паровоз, пройдя мимо наблюдателя, начинает удаляться от него.
Картина волн на воде осложняется тем, что пловец создает волны не только руками, но и ногами. Кроме того, на поверхности воды скорость волны несколько зависит от ее длины. Поэтому круги на воде вокруг пловца будут не совсем точными.
• Задача 56. Письма с дороги
Дата публикации:
4 ноября 2003 года
Электронная версия:
© НиТ. Раритетные издания, 1998