Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов
Самолет летит по замкнутому маршруту Москва – Орша – Москва на побитие рекорда скорости. В течение всего полета ветер дует перпендикулярно к маршруту самолета? Мешает он рекорду или помогает?
В этом-то случае на ветер можно не обращать внимания, – убежденно заявляют многие. – Нет, если задача поставлена, то в ней что-то есть, – скажут умудренные опытом.
Действительно, ветер, дующий поперек, стремится снести самолет с маршрута. Чтобы лететь по маршруту, летчик должен развернуть самолет несколько против ветра. Но тогда ветер для самолета будет уже не строго поперечным: он станет немного встречным и будет мешать полету. Попробуйте отразить это обстоятельство векторной диаграммой и вычислить время полета.
Рис. 39
На рис. 39 показана векторная диаграмма, поясняющая влияние поперечного ветра на скорость самолета. В отсутствие ветра самолет Москва – Орша летит со скоростью vс1 (вектор AB). Наличие бокового ветра vв (вектор BC) приводит к тому, что самолет, продольная ось которого направлена на Оршу, будет фактически лететь в направлении AC (на Могилев, например) с путевой скоростью vп1. Правда, абсолютная величина скорости благодаря ветру возрастает (vп1 = √[vс12 + vв2] > vс1), но самолет летит не туда, куда надо. Его сносит влево от маршрута на угол φ (угол сноса). Чтобы лететь на Оршу, самолет должен развернуться на некоторый угол α против ветра (на Витебск, например) Угол α надо подобрать таким, чтобы с учетом сноса самолет летел по маршруту, т.е. чтобы результирующий вектор vп2 суммы векторов vс2 и vв был направлен на Оршу.
При построении чертежа следует помнить, что воздушная скорость самолета остается по величине той же (AD = AB, что отражается на чертеже дугой BD, центром которой является точка A). Из чертежа видно, что, несмотря на постоянство воздушной скорости vс, путевая скорость при наличии бокового ветра меньше, чем в отсутствие его:
AE < AB.
Заметим кстати, что
sin α = vв/vс2 = tg φ = vв/vc1,
так как vc1 = vс2 = vв. Поскольку sin α = tg φ, то α > φ, т.е. самолет должен развернуться на угол, больший первоначального угла сноса.
Подсчитаем теперь, насколько вреден поперечный ветер
В отсутствие ветра продолжительность полета
t1 = 2l/vс.
При наличии ветра
t2 = 2l/vп2 = 2l/vс cos α = t1/cos α.
Поскольку sin α = vв/vс, то α = arcsin (vв/vс), и, следовательно,
t2 = t1/cos (arcsin [vв/vс]).
Если vс = 300 м/с и vв = 30 м/с, то
sin α = 30/300 = 0,1;
α = 5°44';
cos α = 0,9954
t2 = t1/0,995,
т.е. поперечный ветер ухудшил время полета на полпроцента. Итак, и встречный, и поперечный ветер ухудшает рекорд. Но, может быть, есть такой ветер, который может помочь рекорду? Ведь из чертежа видно, что если не сопротивляться поперечному ветру, то путевая скорость увеличивается (vп1 > vс1, «полет на Могилев»). Может быть, при показанном направлении ветра для установления рекорда лучше лететь не на Оршу, а на Могилев? Нет, не лучше: на этом маршруте возрастут неприятности на обратном пути.
И вообще, поскольку скорость всякого ветра можно разложить на продольную и поперечную составляющие, а каждая из этих составляющих, как видно из двух рассмотренных задач, мешает полету, то, очевидно, их сумма также всегда будет мешать установлению рекорда на замкнутом маршруте.
• Задача 41. Падающее дерево
Дата публикации:
17 августа 2003 года
Электронная версия:
© НиТ. Раритетные издания, 1998