Перейти в начало сайта Перейти в начало сайта
Электронная библиотека «Наука и техника»
n-t.ru: Наука и техника
Начало сайта / Раритетные издания / Смотри в корень!
Начало сайта / Раритетные издания / Смотри в корень!

Научные статьи

Физика звёзд

Физика микромира

Журналы

Природа

Наука и жизнь

Природа и люди

Техника – молодёжи

Нобелевские лауреаты

Премия по физике

Премия по химии

Премия по литературе

Премия по медицине

Премия по экономике

Премия мира

Книги

Во главе двух академий

Грюндеры и грюндерство

Люди и биты. Информационный взрыв: что он несет

Парадоксы науки

Приключения великих уравнений

Химия вокруг нас

Издания НиТ

Батарейки и аккумуляторы

Охранные системы

Источники энергии

Свет и тепло

Научно-популярные статьи

Наука сегодня

Научные гипотезы

Теория относительности

История науки

Научные развлечения

Техника сегодня

История техники

Измерения в технике

Источники энергии

Наука и религия

Мир, в котором мы живём

Лит. творчество ученых

Человек и общество

Образование

Разное

Задача 29. От полюса к полюсу

Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов

А.

Спутник выведен на круговую полярную орбиту, т.е. такую, в плоскости которой находятся оба географических полюса. Как выглядит проекция его орбиты на поверхность земного шара?

Б.

Многие утверждают, что проекция орбиты спутника совпадает с тем меридианом, вдоль которого он движется. Но тогда второй виток, как продолжение первого, должен проходить по тому же меридиану.

Другие, учитывая, что плоскость орбиты спутника должна быть неподвижной в пространстве, а Земля вращается вокруг своей оси, проходящей через полюсы, считают, что спутник пересекает все меридианы под некоторым углом. Но тогда возникают парадоксы: как можно уйти с полюса под углом к меридианам, если все направления с полюса – меридианы? И как спутник попадет с Северного полюса на Южный?

Встречается и такой контрвопрос: а обязательно ли спутнику, проходящему над Северным полюсом, попадать еще и на Южный? Обязательно! По первому закону Кеплера плоскость орбиты спутника содержит центр Земли. Если к тому же эта плоскость содержит в себе и один из полюсов, то она содержит и весь отрезок полюс – центр, на продолжении которого находится второй полюс.

Чтобы задача стала нагляднее, представьте, что Земля строго шарообразна (с радиусом r0) и оклеена белой бумагой (как глобус), а спутник летит на высоте, равной нулю, и вертикально вниз с него направлен карандаш, который чертит на бумаге его след. И пусть при этом трение карандаша о бумагу никак не сказывается ни на ориентации карандаша, ни на скорости спутника.

В.

Начнем с момента пролета спутника над Северным полюсом. Спутник C движется вдоль некоторого меридиана М0 (рис. 21) со скоростью vc ≈ 8 км/с, а Земля под ним поворачивается с угловой скоростью

ΩЗ = 2π/(24·60·60) = π/(43200) рад/с.(1)

Спустя время t спутник С оказывается на некоторой широте θ, продвинувшись от полюса на угол γ = π/2 – θ. Радиус малого круга параллели θ равен

r = r0·cos θ.(2)

Рис. 21.

За счет вращения Земли меридиан М0 отойдет от спутника С на восток (для земного наблюдателя, стоящего на М0, спутник отойдет на запад) на величину дуги малого круга

d = rΩЗt = r0ΩЗt·cos θ – r0ΩЗt·sin γ,(3)

где ΩЗt – длина этой дуги в радианах. Угол γ есть отношение дуги L к ее радиусу:

γ = L/r0 = vct/r0(4)

Таким образом, окончательно, согласно (3) и (4),

d = r0ΩЗt·sin (vct/r0).(5)

На рис. 21 жирной линией ориентировочно показана кривая, которую прочертит полярный спутник на поверхности вращающегося земного шара за время первого полувитка (в горизонтальном направлении масштаб кривой преувеличен примерно вдвое). Спутник начинает свое движение от полюса строго по меридиану, но тут же, за счет вращения Земли, начинает и отклоняться, сначала еле заметно (мала линейная скорость уходящего от спутника меридиана), затем все быстрее. Наибольшая скорость расхождения спутника и меридиана (линейная скорость поверхности Земли vЗ) – на экваторе:

vЗ = 2πr0/ТЗ = 4·107/(24·60·60) ≈ 450 м/с.(6)

Угол α, под которым траектория спутника пересекает экватор, можно найти из прямоугольника скоростей (см. рис. 21): tg α = vc/vЗ, что для спутника на нулевой высоте дает

tg α = сЗ)·(r0/r0) = vc/vЗ = 8000/450 = 17,7(7)

Откуда α ≈ 86°45'. После экватора vЗ вновь убывает, и траектория спутника вблизи Южного полюса идет почти точно по меридиану М1, отличному от начального М0 на угол поворота Земли за время, соответствующее полувитку спутника:

М1 – М0 = Ω3·(Тс/2) = (Ω3/2)·(2πr0/vc) =
(π/[2·43200])·(4·107/8·103) ≈ 0,181 рад = 10,3°.
(8)

В малой окрестности полюса, где sin γ ≈ γ, формула (5) дает

d = r0ΩЗt·(vct/r0) = ΩЗvсt,

(9)

т.е. начальная часть траектории является параболой, касающейся меридиана (при условии, что соответствующий участок шаровой поверхности удалось бы распрямить на плоскости без разрывов).

Рис. 22.

В случае полета на высоте H > 0 нужно рассматривать поведение на поверхности Земли не спутника, а подспутниковой точки (точки, для которой спутник находится в зените). Чем больше H, тем меньше орбитальная скорость спутника. Угловая же скорость (относительно центра Земли) подспутниковой точки

Ωс = vc/rc vc/(r0 + H)(10)

убывает еще быстрее, так как в формуле (10) не только убывает числитель, но еще и растет знаменатель.

Любопытно поведение кругового спутника с радиусом орбиты r = 42180 км. За сутки (звездные) он совершает ровно один оборот. Если он движется по экваториальной орбите попутно с Землей (на восток), то земному наблюдателю кажется висящим неподвижно над некоторой точкой экватора, так как Ωс = ΩЗ. Если же его вывести на полярную орбиту, то, начиная свое движение, например, от полюса по нулевому меридиану, за четверть оборота он достигает экватора и пересекает его на 90° западнее под углом

α = arctg (ΩсЗ) = arctg 1 = 45°.

К Южному полюсу он подходит по 180-му меридиану (рис. 22, б), после чего уходит от полюса вновь по нулевому меридиану (являющемуся продолжением 180-го). Продолжая отклоняться от него по-прежнему к западу, спутник пересекает экватор в той же точке: от экватора до экватора спутник совершил пол-оборота в полярной плоскости, а Земля за это время – тоже пол-оборота в экваториальной и подставила под спутник ту же самую точку. В результате на Земле подспутниковая точка за один оборот описывает «восьмерку», пересекая на экваторе свою собственную траекторию под углом 90°. На рис. 22, а показан вид этой траектории сбоку; сплошной линией показано движение подспутниковой точки на ближней к нам стороне земного шара, пунктирной – на обратной (пунктир должен совпадать со сплошной линией; подробнее с поведением подспутниковой точки для спутников разной высоты и наклонения можно познакомиться по книге: Штернфельд А. Искусственный спутник, 2-е изд. – М.: Гостехиздат, 1958).

 

• Задача 30. Срочное приземление

Оглавление


Дата публикации:

16 июля 2003 года

Электронная версия:

© НиТ. Раритетные издания, 1998

В начало сайта | Книги | Статьи | Журналы | Нобелевские лауреаты | Издания НиТ | Подписка
Карта сайта | Cовместные проекты | Журнал «Сумбур» | Игумен Валериан | Техническая библиотека
© МОО «Наука и техника», 1997...2017
Об организацииАудиторияСвязаться с намиРазместить рекламуПравовая информация
Яндекс цитирования
Яндекс.Метрика