Перейти в начало сайта Перейти в начало сайта
Электронная библиотека «Наука и техника»
n-t.ru: Наука и техника
Начало сайта / Раритетные издания / Смотри в корень!
Начало сайта / Раритетные издания / Смотри в корень!

Научные статьи

Физика звёзд

Физика микромира

Журналы

Природа

Наука и жизнь

Природа и люди

Техника – молодёжи

Нобелевские лауреаты

Премия по физике

Премия по химии

Премия по литературе

Премия по медицине

Премия по экономике

Премия мира

Книги

В поисках «энергетической капсулы»

Время, хранимое как драгоценность

Генри Форд. Моя жизнь, мои достижения

Парадокс XX века

Сын человеческий

Часы. От гномона до атомных часов

Издания НиТ

Батарейки и аккумуляторы

Охранные системы

Источники энергии

Свет и тепло

Научно-популярные статьи

Наука сегодня

Научные гипотезы

Теория относительности

История науки

Научные развлечения

Техника сегодня

История техники

Измерения в технике

Источники энергии

Наука и религия

Мир, в котором мы живём

Лит. творчество ученых

Человек и общество

Образование

Разное

Задача 13. Под куполом озера

Пётр Маковецкий. Смотри в корень! Сборник любопытных задач и вопросов

А.

Спокойная гладь озера кажется плоскостью. Но вы прекрасно знаете, что эта поверхность куполообразна: ведь если бы озеро занимало всю поверхность земного шара, то поверхность озера и была бы поверхностью шара. Перед вами два круглых озера: одно диаметром 1 км, второе – 10 км. Во сколько раз высота купола второго озера больше высоты купола первого?

Б.

Обычно с ходу отвечают: «Приблизительно в 10 раз». А теперь проделайте точные вычисления, и вы увидите, что не в 10, а в 100 раз!

В.

Рис. 10.

Из рис. 10 следует, что высоту купола можно определить следующим соотношением

h = CD = OC – OD = r – r cos (α/2) = r [1 – cos (α/2)],

где r – радиус земного шара (6380 км), α – угол, под которым виден диаметр озера из центра Земли. Однако по этой формуле вычислять крайне неудобно: ведь угол α очень мал, косинус оказывается очень близким к единице, и, чтобы получить h с точностью хотя бы до двух знаков, необходимо определить этот косинус с точностью до десятого знака. Поэтому лучше формулу несколько преобразовать.

Вводя новое обозначение

x = α/4

и используя известную формулу

sin 2x = (1 – cos 2x)/2,

имеем

h = r [1 – cos (α/2)] = r (1 – cos 2x) = 2r sin 2x = 2r sin 2(α/4).

Эта формула удобнее первой: для определения h с точностью до двух знаков требуется знать синус также с точностью до двух знаков.

Найдем угол α. Поскольку длине экватора, равной 40 000 км, соответствует угол α = 360°, то диаметру озера d = 1 км соответствует угол α1 = 0,009°, у 10-километрового же озера α10 = 0,09°. Для таких малых углов синус угла с высокой степенью точности равен самому углу, выраженному в радианах:

sin (α/4) ≈ α/4.

Следовательно, формулу для вычисления h можно упростить:

h ≈ 2r (α/4)2 = rα2/8.

Написав эту формулу для обоих озер,

h1 = rα12/8, h10 = rα102/8,

и разделив почленно одно равенство на другое, получаем

h1/h10 = α12102.

Отсюда немедленно следует, что высота купола второго озера больше, чем первого, не в 10, а в 100 раз: поскольку α10 = 10α1, то h10 = 100h1.

Интересно узнать, какова величина h количественно. Для первого озера

α1 = 0,009 – 2π/360 = 0,000157 рад.

Высота купола

h1 = rα12/8 = 6 380 000 · 0,0001572/8 ≈ 0,02 м = 2 см.

Для второго озера

h10 ≈ 2 м.

Не такое уж плоское это озеро! Под его куполом может свободно прогуливаться каждый из вас.

Заметим, что поскольку земной шар несколько сплюснут у полюсов, то там сплюснута и водная поверхность. В результате из двух одинаковых озер несколько более высоким куполом обладает озеро, расположенное ближе к экватору. Однако эта разница очень мала.

Будьте осторожны: если вас спросят, а какова была бы высота купола того же 10-километрового озера, если бы оно находилось на Луне (r = 1740 км), то не следует делать из формулы h = rα2/8 опрометчивого вывода, что там h в 6380/1740 = 3,7 раза меньше, чем на Земле: радиус уменьшился в 3,7 раза, но зато угол α возрос во столько же раз, а поскольку α входит в формулу во второй степени, то для того же озера h на Луне была бы не меньше, а больше в 3,7 раза. Впрочем, это ощущается и без формулы: ведь кривизна поверхности меньшего шара больше, чем большего. Кстати сказать, эта большая кривизна доставит исследователям Луны немало хлопот. Для космонавта, стоящего на лунной равнине, расстояние до горизонта всего лишь 2,3 км – рукой подать. Расходясь на 4,6 км, космонавты будут полностью терять друг друга из виду, причем даже радиосвязь на ультракоротких волнах между ними будет обрываться (УКВ распространяются только в пределах прямой видимости). Короткие же волны, распространяющиеся на Земле далеко за горизонт благодаря многократным отражениям от Земли и ионосферы (верхний заряженный слой атмосферы), на Луне непригодны из-за отсутствия ионосферы. Придется держать связь через далекую родину – Землю или через другой ретранслятор.

 

• Задача 14. Полярная Луна

Оглавление


Дата публикации:

28 сентября 2002 года

Электронная версия:

© НиТ. Раритетные издания, 1998

В начало сайта | Книги | Статьи | Журналы | Нобелевские лауреаты | Издания НиТ | Подписка
Карта сайта | Cовместные проекты | Журнал «Сумбур» | Игумен Валериан | Техническая библиотека
© МОО «Наука и техника», 1997...2017
Об организацииАудиторияСвязаться с намиРазместить рекламуПравовая информация
Яндекс цитирования
Яндекс.Метрика