Длинное письмо в редакцию
Ранее было высказано мнение, что система дверных ключей в нашем институте сложнее, чем теория поля. Это явное извращение фактов, и чтобы его опровергнуть, в настоящем сообщении мы излагаем упрощенную теоретическую схему, на основе которой создавалась эта система.
Начнем с определений.
Ключ состоит из стержня, на котором укреплены штифты.
Замок состоит из щели с отверстиями, расположенными соответственно позициям штифтов на стержне ключа. Кроме того, в замке имеется система рычажков, находящихся позади отверстий (см. рисунок).
Введем теперь следующие три аксиомы:
Пусть штифты, отверстия и рычажки описываются значением 1 переменных aj, bj, и сj, соответственно. Индекс j – номер позиции. Антиштифты, антиотверстия и антирычажки соответствуют значению 0 тех же переменных. Определим теперь матричное умножение следующим способом:
(1) |
где символическое произведение abc = a, если одновременно а ≤ b и а ≥ с, в противном случае abc = 1 – α. Отсюда следует, что если (a1 а2...аk) есть собственный вектор оператора
то ключ может отпереть замок.
Используя этот формализм, легко найти полное число ключей, которые открывают данный замок . Оно равно
(2) |
а число замков, которые могут быть открыты данным ключом (α), равно
(3) |
При получении этих выражений учитывался тот факт, что замок есть тривиальный антизамок.
В уравнениях (2) и (3) k есть сумма коэффициентов Клебша – Гордана, равная единице.
Развитый выше формализм позволил решить следующую задачу. Пусть некто хочет пройти из некоторой комнаты A через несколько дверей в произвольную комнату B. Число ключей, необходимое для этого, максимизировалось при произвольном выборе комнат A и B. (Проблема минимизации не решалась, поскольку ее решение тривиально – одинаковые замки.) Затем сотрудники института были разбиты на ряд подгрупп, и система ключей строилась таким образом, чтобы одновременно выполнялись два условия:
1) ни одна подгруппа не в состоянии открыть все те замки, которые могут быть открыты любой другой подгруппой;
2) трансформационные свойства групп соответствуют возможности одалживания ключей.
Создатели системы ключей надеялись, что она является единственно возможной и полной, и до известной степени это справедливо. Однако оказалось, что ключи, которые не должны были бы открывать некоторые двери, открывают их, если их вставлять в замок не до конца. Например, ключ (11111) может открыть замок в n = 5 различных положениях. Число n было названо странностью системы ключ – замок. Экспериментальными исследованиями было найдено, что наша система ключей является весьма странной. Однако этот недостаток можно исправить, если потребовать для последней позиции соблюдения равенств аk = bk = сk = 1. Будем надеяться, что при ближайшем пересмотре системы ключей в нее будет внесено это исправление.
На отмычки настоящее исследование не распространяется.
Автор выражает благодарность сотрудникам, работающим в разных группах, за горячее обсуждение затронутых проблем.
Дата публикации:
17 августа 2000 года
Электронная версия:
© НиТ. Раритетные издания, 1998