Перейти в начало сайта Перейти в начало сайта
Электронная библиотека «Наука и техника»
n-t.ru: Наука и техника
Начало сайта / Научные статьи
Начало сайта / Научные статьи

Научные статьи

Физика звёзд

Физика микромира

Журналы

Природа

Наука и жизнь

Природа и люди

Техника – молодёжи

Нобелевские лауреаты

Премия по физике

Премия по химии

Премия по литературе

Премия по медицине

Премия по экономике

Премия мира

Книги

Бермудский треугольник: мифы и реальность

Доктор занимательных наук

Культура. Техника. Образование

Парадоксы науки

Приключения великих уравнений

Химия вокруг нас

Издания НиТ

Батарейки и аккумуляторы

Охранные системы

Источники энергии

Свет и тепло

Научно-популярные статьи

Наука сегодня

Научные гипотезы

Теория относительности

История науки

Научные развлечения

Техника сегодня

История техники

Измерения в технике

Источники энергии

Наука и религия

Мир, в котором мы живём

Лит. творчество ученых

Человек и общество

Образование

Разное

О статистической физике

Леонид Максимов, член-корреспондент РАН

В своё время Окуджава сетовал: «что-то физики в почёте, что-то лирики в загоне». Сегодня в почёте бизнесмены и чиновники. Современную молодёжь мало интересует физика вообще и, в частности, теоретическая физика. Но нет ничего прекраснее физики, любовь к которой следует прививать со школы. Очень хочется, чтобы на физические факультеты шли не ради бегства от армии, а ради любви к науке.

Данная статья посвящена попытке показать, что объединение механики и небольшого раздела математики – теории вероятностей – приводит к пониманию физики систем с очень большим числом частиц. Речь пойдёт о статистической физике, которая исходя из элементарных, почти очевидных, соображений позволяет описывать свойства газов и конденсированных сред. Эта теория может объяснить, в принципе, даже такие сложные явления, как сверхпроводимость и сверхтекучесть.

Ландау говорил, что квантовую механику невозможно понять, к ней надо привыкнуть. В значительной мере это относится и к статистической физике. Поэтому основы статистической физики следует изучать многократно. Чем раньше вы познакомитесь с ней в первый раз, тем лучше. Даже у чиновника, бывшего физтеховца, в душе остаётся что-то человеческое. Воспоминания о статистической физике помогут ему проглотить очередную выволочку начальства.

1. Словарь

Всё будет очень просто. Единственная трудность – необходимо ввести много новых понятий, о которых в школе ещё не говорили.

Макроскопическое число есть число, которое очень велико, и его логарифм тоже очень велик. Например, число атомов в 1 см3 в твёрдом теле по порядку величины равно 1030 и логарифм этого числа ln 1030 ≈ 100.

Система есть тело, находящееся в некотором состоянии, которое задаётся набором физических величин.

К сожалению, в физической литературе слово «состояние» используется в трёх смыслах – это и состояние одной частицы, и собственное состояние макроскопического гамильтониана, и статистическое среднее состояние макроскопической системы.

Число состояний Γ есть число способов, которым можно получить систему частиц с заданной энергией. Например, для для системы N магнитных моментов электронов в металле Γ = 2N.

Аддитивная величина есть величина, пропорциональная числу частиц в системе. Для магнитных моментов ln Γ = N ln 2.

Вероятность есть величина W(A), которая с одной стороны равна отношению числа проведённых измерений, давших заданное значение некоторой переменной величины A к полному числу измерений этой величины. С другой стороны эта величина предсказывает относительную частоту будущих экспериментов, которые приведут к этому значению А.

Например, если мы бросили игральный кубик 600 раз, можно быть уверенным, что значение А = 5 на верхней грани появится около 100 раз. И, следовательно, W(5) = 1/6. Наоборот, если мы собираемся бросать много раз тот же кубик, мы заранее знаем, что число 5 появится в относительном числе случаев W(5) = 1/6. Конечно, в действительности, эти результаты будут слегка отличаться от W(5) = 1/6. Но если повторить эксперимент миллион раз, то отклонение W(5) от 1/6 станет много меньше. Это диктуется «законом больших чисел», который будет доказан в следующем разделе. Как правило, выводы теории вероятностей столь очевидны, что академик Ландау предлагал выкинуть теорию вероятности из курса высшей математики в МФТИ.

2. Число состояний

На уроках физики и в работе инженера физические явления рассматриваются в пространстве и во времени. Но есть ещё одно важное направление – число степеней свободы, число состояний Γ. У атома водорода имеется одно основное состояние. Первых возбуждённых состояний – четыре. Число высоковозбуждённых состояний атома водорода с энергией En равно Γ = n2. Если мы имеем газ, состоящий из макроскопического числа частиц N ~ 1020...1024, то число состояний пропорционально (const)N, т.е. логарифм числа состояний ln Γ есть аддитивная величина, пропорциональная N. Заметим, что плотность состояний ΔΓ, скорость роста числа состояний с увеличением энергии, тоже растёт как (const)N.

Ниже мы будем говорить о газе, поскольку описать состояния жидкости и твёрдого тела значительно сложнее.

В классической и квантовой механиках основное внимание уделяется описанию движения одной или небольшого числа частиц. Для этого решаются уравнения Ньютона или уравнение Шрёдингера. Но если система состоит из макроскопического числа частиц, то найти точное решение этих уравнений невозможно. Невозможно реально задать состояние газа как в классической механике, перечислив координаты и скорости всех частиц, или в квантовой механике, перечислив квантовые состояния всех частиц. Другими словами, состояние макроскопической системы «размазано» в направлении Γ, и требуется привлечение понятий теории вероятностей. Это делается в рамках теории, которая называется статистической физикой. Уже в названии имеется указание на объединение механики и математической статистики.

3. Закон больших чисел

В начале прошлого века были заложены основы современной теоретической физики: теория относительности Эйнштейна (1905), квантовая механика Шрёдингера (1926) и статистическая механика Гиббса (1902). Здесь обсудим основные положения статистической теории Гиббса.

Макроскопические системы, среды – это тела из большого числа частиц (или поля с большим числом степеней свободы). Состояние среды известно всегда весьма приближённо. Поэтому при описании этого состояния важное значение имеют средние значения физических величин. Среднее значение физической величины A можно определить двумя способами. Первый способ – у одной системы многократно повторяется измерение этой величины A(t1), A(t2), ... A(tn), и производится усреднение по результатам измерений. Такое среднее ⟨At называется средним по времени.

Второй способ заключается в том, что берётся множество (ансамбль) одинаковых систем, находящихся в одинаковых внешних условиях и одинаково приготовленных, и производится усреднение по результатам однократного измерения величины A у каждого тела:

\[\left\langle A \right\rangle = \frac{1}{n}({A_1} + {A_2} + ... + {A_n}).\]

Такое среднее, которое мы будем обозначать или ⟨A⟩, называется средним по ансамблю. Имеет место эргодическая гипотеза, согласно которой оба способа усреднения дают одинаковый результат для всех величин, характеризующих макроскопические системы, находящихся в равновесных состояниях. Для аддитивных интегралов движения и для неравновесных систем, состояние которых эволюционирует во времени, сохраняет смысл только второй способ усреднения. Поэтому в настоящих лекциях под усреднением будет всегда подразумеваться усреднение по ансамблю, которое впервые ввёл Гиббс.

Разность ΔA = A – ⟨A⟩ называется флуктуацией величины A. Снова наталкиваемся на нечёткость физической терминологии. Интуитивно слово «флуктуация» подразумевает дрожание, отклонение с течением времени величины от среднего значения. Подобно колебаниям магнитной стрелки компаса или уровня моря. В этом смысле энергия газа и число частиц в сосуде не флуктуируют. Но если рассмотреть эти величины в большом числе сосудов, в ансамбле, то в каждом сосуде энергия и число частиц слегка отличаются друг от друга. Так что с точки зрения асамбля энергия и число частиц флуктуируют.

Величина \({\sigma _A} = \sqrt {\left\langle {{{(\Delta A)}^2}} \right\rangle } \) есть средняя квадратичная флуктуация или дисперсия величины A. Среднее значения произведения флуктуаций ⟨ΔAΔB⟩ – есть корреляция величин A и B.

Две физические величины статистически независимы, некоррелированы, если ⟨ΔAΔB⟩ = 0.

Два тела статистически независимы, если все физические величины, относящиеся к одному телу не коррелированы со всеми физическими величинами второго тела.

Теперь можно дать более полное определение макроскопической системы. Макроскопическая система – это такое тело, которое можно рассматривать как совокупность большого числа M (M ≫ 1) статистически независимых подсистем. Чтобы подсистема была статистически независимой от соседней подсистемы, необходимо, вообще говоря, чтобы взаимодействие между частицами подсистемы было много сильнее, чем пограничное взаимодействие между частицами данной подсистемы и частицами соседней подсистемы. Это, как правило, имеет место, когда число частиц в подсистеме N1 достаточно велико (N1 ≫ 1). В идеальном газе, частицы которого не взаимодействуют друг с другом, уже одна частица может рассматриваться как независимая подсистема. В этом смысле идеальный газ из небольшого числа частиц вполне можно называть макроскопическим телом. Далее будем считать, что велико не только число частиц в системе, но и log N ≫ 1.

Мысленно разобьём макроскопическое однородное тело на большое число M одинаковых статистически независимых подсистем. Средние значения энергий одинаковых подсистем ⟨Ei⟩ равны друг другу. Поэтому средняя энергия всей системы есть

\[\left\langle {{E_{tot}}} \right\rangle = \left\langle {\mathop \sum \limits_i^M {E_i}} \right\rangle = M\left\langle {{E_1}} \right\rangle .\]

Вычислим дисперсию энергии системы:

\[\sigma _{tot}^2 = \left\langle {\Delta E_{tot}^2} \right\rangle = \left\langle {\mathop \sum \limits_i \Delta {E_i}\mathop \sum \limits_j \Delta {E_j}} \right\rangle = \mathop \sum \limits_i \left\langle {{{(\Delta {E_i})}^2}} \right\rangle + \mathop \sum \limits_{i\not = j} \left\langle {\Delta {E_i}\Delta {E_j}} \right\rangle .\]

Поскольку дисперсии у всех подсистем – одинаковые, а корреляции флуктуаций независимых подсистем равны нулю, то последняя сумма в этой формуле исчезает, и

\[\sigma _{tot}^2 = M\sigma _1^2.\]

Отсюда находим, что относительная флуктуация энергии системы, равная

\[\frac{{{\sigma _{tot}}}}{{{{\bar E}_{tot}}}} = \frac{{{\sigma _1}}}{{{{\bar E}_1}\sqrt M }},\]

очень мала, если M ≫ 1. Этот результат в математической статистике называется законом больших чисел. Ясно, что этот закон относится не только к энергии, но и к любой другой аддитивной величине и к отношению двух аддитивных величин.

Большинство результатов статистической физики формулируются в термодинамическом пределе.

Термодинамический предел – это предел, когда энергия E, объём V и число частиц N стремятся к бесконечности при сохранении плотности энергии E / V и плотности частиц N / V. В этом пределе физические величины не флуктуируют. Конкретные расчёты удобнее проводить при большом, но конечном значении объёма системы. А переход к термодинамическому пределу производится в конечных формулах.

Закон больших чисел приводит к очень важным следствиям:

Согласитесь, что это почти очевидно. И вы всегда это знали. Вы пока не знаете только, как найти эти средние значения.

Таким образом, статистическая физика объясняет наблюдаемые явления и предсказывает их. Основное содержание статистической физики заключается в вычислении средних по ансамблю физических величин, которые полностью описывают равновесное состояние системы и называются термодинамическими величинами.

4. Функция распределения

Итак, в термодинамическом пределе флуктуаций нет. Но в замкнутой системе с конечным числом частиц флуктуации физических величин отличны от нуля даже в равновесном состоянии. Для описания этих флуктуаций математическая статистика вводит понятие функции распределения. Каждое механическое состояние системы α есть точка в так называемом пространстве Гильберта (об этом названии можно сразу забыть). Точка α есть полный набор квантовых чисел системы. Для газа электронов это

\[\alpha = ({\vec p_1}{\sigma _1},\,{\vec p_2}{\sigma _2},\,{\vec p_3}{\sigma _3}...{\vec p_N}{\sigma _N}),\]

где \({\vec p_i}{\sigma _i}\) – импульс и одно из двух направлений магнитного момента электрона. В классической физике говорят о точке фазового пространства – совокупности координат и скоростей всех частиц

\[\alpha = (({\vec r_1},\,{\vec p_1}),({\vec r_2},\,{\vec p_2}),({\vec r_3},\,{\vec p_3})...)\]

Функция распределения wα есть функция точки α и равна в этой точке вероятности того, что тело находится в механическом состоянии. Если физическая величина A в точке α принимает значение Aα, то её среднее значение равно

\(\left\langle A \right\rangle = \mathop \sum \limits_\alpha {w_\alpha }{A_\alpha }\)(1)

Полагая в этом выражении A = 1, находим, что функция распределения нормируется соотношением

\(\mathop \sum \limits_\alpha {w_\alpha } = 1.\)(2)

Эта формула говорит, что суммарная вероятность того, что обязательно что-то произойдёт, равна единице.

Величина wα есть обобщение понятия вероятности W(A) на случай макроскопического числа состояний.

В классической физике в формуле (1) вместо суммы фигурирует многомерный интеграл. Интегралы выглядят громоздко, и вычислять их труднее, чем брать суммы. Но в рамках справедливости квазиклассического приближения оба подхода эквивалентны. (Вы, может быть, ещё не знаете, что классическая физика, которой вас учат в школе, есть частный случай квантовой физики. Квазиклассическим приближением называется предел, когда постоянной Планка можно пренебречь). Поэтому для формулировки общих законов статистической физики мы будем использовать терминологию и понятия квантовой механики, хотя поступательное движение всегда квазиклассично.

Функция распределения даёт полное описание статистического состояния тела, так как она по формуле (1) определяет средние значения всех физических величин, которые зависят от этого состояния.

Пусть система находится в заданном механическом состоянии α0. Тогда

\[{w_\alpha } = {\delta _{{\alpha _0}}}.\]

Такое статистическое состояние полностью определяется соответствующей волновой функцией \({\Psi _{{\alpha _0}}}\) и называется чистым или когерентным состоянием. В общем случае статистическое состояние – это совокупность, множество механических состояний, размытых по некоторой области фазового или гильбертового пространства.

Как мы уже говорили, макроскопическую систему можно разбить на M независимых, не коррелирующих друг с другом подсистем. Состояние составной системы можно характеризовать, в каких состояниях находится каждая подсистема α = (α1, α2, ... αp).

Вероятности независимых событий перемножаются. Это означает, что вероятность обнаружения системы, состоящей из М независимых подсистем в состоянии α равна произведению

\[{w_\alpha } = {w_{{\alpha _1}}}{w_{{\alpha _2}}}...{w_{{\alpha _M}}}.\]

Логарифмируя, получаем свойство аддитивности логарифма функции распределения:

\[\ln {w_\alpha } = \ln {w_{{\alpha _1}}} + \ln {w_{{\alpha _2}}} + ... + \ln {w_{{\alpha _M}}}.\]

Если система находится в состоянии термодинамического равновесия, то её состояние с течением времени не меняется и все \({w_{{\alpha _i}}},\;\ln {w_{{\alpha _i}}}\) не зависят от времени.

Приходим к очень важному результату.

Логарифм равновесной функции распределения есть аддитивный интеграл движения. У механической системы существует не больше 7 независимых аддитивных интегралов движения: энергия, три компоненты импульса и три компоненты момента импульса. Если газ находится в замкнутом сосуде, то импульс и момент импульса равны нулю и остаётся один интеграл движения – энергия, а все другие аддитивные сохраняющиеся величины должны быть линейными функциями энергии. Принято записывать линейную зависимость ln wα от энергии в форме

\[\ln {w_\alpha } = \frac{1}{T}(F - {E_\alpha })\](3)

Отсюда

\[{w_\alpha } = {e^{{\textstyle{{F - {E_\alpha }} \over T}}}}\](4)

Величина T называется абсолютной температурой, а F – свободной энергией. Выражение (4) называется статистическим распределением Гиббса, или каноническим распределением. Главное свойство распределения Гиббса – все механические состояния α с одинаковой энергией равновероятны.

Абсолютная температура T есть существенно положительная величина. В противном случае вероятность найти систему с очень большой энергией была бы большой, что бессмысленно. Так как энергия системы есть аддитивная величина, пропорциональная числу частиц, то показатель экспоненты в (4) очень быстро падает, и это падение тем круче, чем ниже температура. При стремлении T к нулю отлична от нуля вероятность только с минимальным значением энергии. Система находится в когерентном основном состоянии. Вычисления показывают, что в металлах это сопровождается возникновением сверхпроводимости, а так называемые бозе-газы обнаруживают сверхтекучие свойства.

Распределение Гиббса монотонно падает с ростом энергии. На первый взгляд это противоречит закону больших чисел, малости относительной дисперсии энергии. Но в действительности плотность числа состояний ΔΓ экспоненциально быстро растёт, и произведение ΔΓwα имеет острый максимум при E = ⟨E⟩.

Из нормировки распределения Гиббса (2) следует, что свободная энергия равна

\[F = - T\ln Z,\quad Z = {\mathop \sum \limits_\alpha ^{ - {\textstyle{{{E_\alpha }} \over T}}}}\](5)

Так как набор квантовых чисел зависит от объёма и полного числа частиц системы, то свободная энергия есть функция трёх переменных T, V, N и, согласно (5), однозначно определяется энергетическим спектром Eα. Из (3) непосредственно следует ещё одно важное соотношение

\[S = - \left\langle {\ln w} \right\rangle = \frac{1}{T}\left( {\left\langle E \right\rangle - F} \right)\](6)

из которого следует, что величина S = –⟨ln w⟩ имеет смысл термодинамической энтропии системы. Таким образом, зная энергетический спектр Eα, можно найти функцию распределения wα и вычислить средние значения любых физических величин для любых конкретных сред по формуле (1). Заметим, что в отличие от статистической физики термодинамика устанавливает общие, справедливые для любых сред, соотношения между физическими величинами, но не предлагает метода вычисления этих величин.

Реально для применения формулы (1) необходимо знать дифференциальное и интегральное исчисления. Я, ещё будучи школьником, самостоятельно выучил высшую математику и очень гордился, что я знаю не только поэзию Пушкина, но и могу вычислять простые интегралы. Сегодня я понимаю, что поцеловать симпатичную девушку – это более «круто». Тем не менее, нет ничего прекраснее теоретической физики.

В заключение для умеющих дифференцировать в качестве примера непосредственного применения распределения Гиббса вычислим среднее значение энергии системы и её дисперсию:

\[\begin{array}{c}\left\langle E \right\rangle = \mathop \sum \limits_\alpha {w_\alpha }{E_\alpha } = \\ \frac{{{\Sigma _\alpha }{e^{ - \beta {E_\alpha }}}{E_\alpha }}}{{{\Sigma _\alpha }{e^{ - \beta {E_\alpha }}}}} = - \frac{1}{Z}\frac{{dZ}}{{d\beta }} = - \frac{{d\ln Z}}{{d\beta }} = - {T^2}\frac{d}{{dT}}\frac{F}{T} = F - T\frac{{dF}}{{dT}}.\end{array}\]

Подставляя эту формулу в (4), получаем известное термодинамическое соотношение

\[\frac{{dF}}{{dT}} = - S.\]

Теперь вычислим среднее значение квадрата энергии

\[\left\langle {{E^2}} \right\rangle = \mathop \sum \limits_\alpha {w_\alpha }E_\alpha ^2 = \frac{1}{Z}\frac{{{d^2}Z}}{{d{\beta ^2}}},\]

Разность предыдущих выражений образует дисперсию:

\[\begin{array}{c}\left\langle {\Delta {E^2}} \right\rangle = \left\langle {{{\left( {E - \left\langle E \right\rangle } \right)}^2}} \right\rangle = \left\langle {{E^2}} \right\rangle - {\left\langle E \right\rangle ^2} = \\\frac{1}{Z}\frac{{{d^2}Z}}{{d{\beta ^2}}} - \frac{1}{{{Z^2}}}{(\frac{{dZ}}{{d\beta }})^2} = \frac{d}{{d\beta }}(\frac{1}{Z}\frac{{dZ}}{{d\beta }}) = \\ - \frac{d}{{d\beta }}\left\langle E \right\rangle = {T^2}\frac{{d\left\langle E \right\rangle }}{{dT}} = {T^2}{C_V}.\end{array}\]

Здесь CV = dE⟩/dT есть теплоёмкость при постоянном объёме.

Дата публикации:

11 апреля 2016 года

В начало сайта | Книги | Статьи | Журналы | Нобелевские лауреаты | Издания НиТ | Подписка
Карта сайта | Cовместные проекты | Журнал «Сумбур» | Игумен Валериан | Техническая библиотека
© МОО «Наука и техника», 1997...2017
Об организацииАудиторияСвязаться с намиРазместить рекламуПравовая информация
Яндекс цитирования
Яндекс.Метрика